大家知道，数学王国中有著名的“五朵金花”：0，1，i，π，e，它们所包含的内容和所发挥的作用，远远超过了数值的本身，因而比一般数字显得更为神秘，其中自然常数e的作用更为突出和神奇，下面我们就谈谈“e”.

1.纳皮尔对数和比尔吉对数中的e的存在（代数阶段）

1614年纳皮尔（1550-1617）对数的函数模型中就有了e的踪迹，但这个函数模型是后来发现极限后才推导出的函数解析式.

1620年比尔吉（1552-1632）对数的代数计算中有，较明显看到了e ,但当时并没有人关注它的特殊性.

2.墨卡托和牛顿在求面积问题中发现了e（从代数到几何）

1668年，墨卡托（1620-1687）利用长除法将展开为幂级数，后积分得到了的展开式，引入了“自然对数”、“双曲线对数”的名称.

1664-1669年，牛顿（1643-1727）利用广义二项式定理展开，再逐项积分得到的展开式，牛顿通过“逆级数法”得到了指数级数

令y=1得（当时这个值并没有确定的名字）

3.雅各布·伯努利发现的e

1683年，在研究无穷级数时，雅各布（1655-1705）曾讨论过一个有趣的“复利”问题，竟然从结果中发现了e！一般人可能以为，无限地存下去，盈利会越来越高，以致达到无穷.但雅各布通过无穷级数证明出，如果当初存入的钱数是l，当存的次数无限多时，盈利的总和竟然趋向一个有限的值，而这个值就是e! 1690年，伯努利把这个结果发表在他的系列论文中，相当于现在的重要极限式.

令雅各布惊讶的是，e这个奇特的数还屡屡出现在其他无穷级数求和，例如、的级数求和中,在概率计算中，在一个被称作“帽子保管问题”的无穷级数求和中，在标准正态分布的计算中，在双曲线函数曲线下所包含的面积计算中，在螺旋线中，等等.

4.欧拉定义的e（从几何到分析）

e公开出现是1736年欧拉（1707-1783）发表在《力学》杂志上的一篇论文里，后又在1748年出版的《无穷分析引论》中定义了e，并作了详细说明：

对于，a>1时，

是无穷小时，设，也是无穷小，

令  （K是一个依赖于a的有限数）

,取以a为底的对数，则

由得

即

令，则

时，，，…

令z=1得

对取以a为底的对数，得

，

i越大，就比1大得越多

当i为无穷大时，可以称为大于1的任何（实）数

令

则，，

当i为无穷大时，，，，…

前面已推出底数a的表达式

当K=1时

此时以a为底的对数

此对数称为自然对数或双曲对数，记为e

由

得

令，两边取自然对数得

上式便是的无穷级数表示.

存在问题：那个时代数学家基本不关注逻辑基础及使用的正确性，和的极限是否等于极限的和当时并没证明；另外，数学家们更擅长研究特定的积分或级数，对一般函数不太关注.

5.欧拉公式的早期证明

欧拉公式：

    证明：法1： 棣莫弗公式中

  令

  得

  当时，

  当时，

  此条件下

所以

证明：法2：因为

              即

所以

利用牛顿或欧拉的正余弦级数或泰勒公式都可以得到

所以

特殊结论：当时，得，即，“五朵金花”竟同时绽开在一个公式中，多么奇妙！

存在问题：所有的公式对复数是否成立并未证明.

欧拉公式从形式上的成立到严格的数学真理，需要发展复变函数理论，这个理论是十九世纪伟大的数学成就之一，柯西是该理论的奠基人.

6.极限理论下的e（用极限思想解释）

达朗贝尔（1717-1783）提出了建立在极限概念基础上的微积分，但缺少“极限”的明确定义，真正给“极限”下定义的是奥古斯丁·路易斯·柯西（1789-1857），创立极限理论的也是柯西.

极限定义：当属于一个变量的相继的值无限地趋近某个固定值时，如果最终同固定值之差可以随意地小，那么这个固定值就称为所有这些值的极限.

柯西拒绝通过无穷级数进行函数展开，他认为全部的微积分都可建立在极限思想基础上.

（1）证明极限存在：

证明：数列中，令

即

      所以严格递增

时，

所以有上界，记极限为e.

（2）求（数列）极限：

解：令

显然，为递增数列

因为

所以

当时，

（3）通过(1)中极限结论及两边夹定理，可证函数极限：（证明过程略）

7.e为无理数的证明

证明方法：反证法

证明：假设

由前面已经知到2<e<3 , 所以q至少等于2

两端同时乘以q! 得    ，为真分数

定为整数，而等式左侧eq!必为整数，所以等式不成立，所以e为无理数.

8.无所不在的e

数学中的典型应用举例：

（1）概率统计中以正态分布曲线为例，它的方程为.还有其他一些分布的曲线方程如泊松分布等也与e有关.

（2）《复变函数》中最典型的是欧拉公式

（3）悬链线的研究中.一条悬挂的链子所形成的的曲线，它的方程为.

（4）对数螺旋线中.对数螺旋是自然界中最普遍存在的，非常有趣的是，对数螺旋线的渐近线也是对数螺旋线，而在对数螺旋线各点切线的极点也构成了对数螺旋线，在一种螺旋结构中，居然蕴含着多个层次的螺旋结构，这也太绝妙了.对数螺线的曲线极坐标方程为，也写作.

对数螺旋线也深受艺术家们宠爱，逐渐向中心收缩的螺旋形有其难以言表的美，而主导螺旋线形体的正是e.

（5）质数定理中，函数，反映的小于等于给定整数x的质数的分布规律.

还要很多很多，此处不一一列举.另外，e在物理学、生物学、信息科学等等领域都有着极为广泛的应用.e就是这么神奇，它包罗万象，无所不在，令人着迷.

参考文献：

1. 韩双微，郝妍，自然对数底e在现实生活中的应用，《学园》，2015年第12期，第71

2. 2.王欣，齐新社，王娜，再谈自然常数ｅ的存在性及无理性，《高等数学研究》，2019年第3期，第2页

3. 3.侯立伟，以知启智，以史怡情，《数学教学通讯》，2020年2月（下旬），第22页

4.【美】莫里斯·克莱因，《古今数学思想》[M]（2002年译版），上海科学技术出版社

5.李文林，《数学史概论》[M]，2006年，高等教育出版社

6.【美】霍华德·伊夫斯，《数学史概论》（2009年译版），哈尔滨工业大学出版社

7.【美】威廉·邓纳姆，《微积分的历程》（2010年译版），人民邮电出版社

8.【美】R·柯朗，H·罗宾，《什么是数学》[M]（2011年译版），复旦大学出版社

9.【瑞士】欧拉，《无穷分析引论（上）》（2013年译版），哈尔滨工业大学出版社

10.中华人民共和国教育部.《普通高中数学课程标准》（2017年版）[M]，2018年，北京：人民教育出版

11.【以】伊莱·马奥尔，《e的故事》（2018年译版），人民邮电出版社

12.【德】菲利克斯·克莱因，《高观点下的初等数学》[M]（2020年译版），华东师范大学出版社