利用面积关系来说明数学中的某些恒等式、不等式或证明某些定理，这是一个古老而又年轻的方法。早在三千多年前，在几何学没有形成一门系统的学科时，人们已经会使用面积法来解决某些问题了，但是这种方法的潜力远没有得到发挥，在各类文献资料、教科书、教学参考书以及各种学生的读物中很少有比较系统的阐述。而张景中院士把面积法重拾，取得了划时代、颠覆性的进展，开辟了平面几何的新天地，以至于改变了千万中学生，面积法对扩展学生解题思路有着重要的帮助。用面积法可以对平面几何、三角、代数内容进行重构。随着进一步的研究，他敏锐的意识到，面积作为平面几何的不变量之一，是串联几何所有其他元素、甚至整个几何定理、方法、思路、公理、系统的主线，是开启几何新思路之门的钥匙。张景中院士将面积作为几何推理的出发点，让三角公式提前“出场”，创立了以面积计算为基本过程的几何系统。

一、认识共边定理

 以面积为基础，运用代数与三角来展开初等几何，从小学到大学的内容可以一线贯穿，极有希望提供一种 比传统几何教材更易学、更生动的几何教材，提供一种可以和欧几里得体系比肩的另一体系。

        图1            图2              图3              图4

共边定理：设直线AB与MN交于点P，=

则 证明：

共边定理是由张景中院士提炼提出的，这里点A、B、M、N四种不同的位置如上图，四图可统一为一种证明。证明的要诀就是选取共边与共线上另一线段之比，转化为面积比，再由更比性质而得出。首先，这个定理涵盖了分类讨论各组合因素，有利于培养和训练学生解决问题时的组合意识。而组合的观念和意识是初中数学课堂教学里渗透力欠缺的地方，在我们的数学教学中，非常有必要挖掘课程中的组合因素。我们可以把图1看作基本图形，将MN向上运动，就可以得到图形2.将图1和图2可以看作以AB为基准，分别描述点M、N在线段AB的两侧以及在线段AB的同侧的不同情况。图3和图4可以看作线段AB的延长线和MN相交，以及线段AB的延长线与线段MN的延长线相交的情况。图3和图4的情况是学生容易忽略的，通过此条定理的学习，有助于培养学生的分类讨论组合因素的思维。 其次，通过这个定理的学习，培养了学生的求异思维。在平面几何中，探索不在同一直线上或着不在同一方向上的线段的数量关系时，常常需要通过各种变换，将这些线段变换在一条直线上或者集中在一个三角形中，从而找出这些线段之间的数量关系。为了达成这样的目的，就需要添加一些辅助线，而这对于学生来说并不是一件容易的事。将线段比转化为面积比，往往不需要或者只添加较少的辅助线就可以解决。以面积为出发点，贯穿线段与线段、面积与线段之间的关系，使学生在思维的深刻性上又前进了一大步。最后，共边定理虽然是对等高等底的三角形面积相等这一基本性质以及共高定理的推广，但是它的用途却更加的广泛。它在线段和面积之间搭起了一座天然的桥梁，使线段和面积之间可以自由转换，为比例线段的证明又添一种新思路。利用这两种几何量的反复转化，可证明大量的几何问题，尤其是在没有特殊条件下，或只涉及直线相交、平行、同一直线上的线段比以及面积比等问题中，运用共边定理会达到意想不到的效果。

二、 平行“A”字模型

 如图5

所示的图形是所谓的平行“A”字相似三 角形模型,只要满足DE ∥BC 这一条件,就能得到 一组相似三角形 △ADE 和 △ABC.当问题中出现 类似图形时,就能应用该模型找出相似三角形并解 答问题.

                                   图5

例1  如图6所示,点D,E 分别是AB,AC 的 中点,下列说法不正确的是( )

 (A)DE =  BC.        (B)△ADE ∽ △ABC.

 (C) =  .         (D) =

                               图6

解析 因为点D,E 分别是AB,AC 的中点,

所以DE ∥BC(中位线定理),

AD =  AB,AE =  AC,DE =  BC.

因为   =   =,∠A =∠A

所以 △ADE ∽ △ABC.

综上,选项(A)(B)(D)均正确,不正确的说法 为选项(C).

思考 利用平行“A”字模型找相似三角形,主 要运用相似三角形判定原理(SAS)找到相似三角 形.只要问题给出图形与平行“A”字模型类似并满 足平行线条件时,就能应用该模型快速找出一组相 似三角形,进而解答相关问题.

三、应用面积法证明线段相等问题

 证明线段相等是一类较为常见的平面几何类问 题,虽然运用常规方法能够证明,但有时,过程较为繁 琐、步骤较多,有时学生容易陷入到思维障碍当中,影 响他们的解题自信.对此,教师可以指导学生应用面积 法证明线段相等的问题,使其转变解题思路,帮助他 们找到正确的证明流程与方法.

例2   如图7,已知在等腰三角形 ABC 中,AB 和AC 相等,点 D 在BC 边 上,其 中 DB 的 长 度 与 DC 相 等, DE 垂直于AB,垂点是E,DF 垂直于 AC,垂点为F,请尝试证明 DE 与DF 相等.

图7

分析:学生通过初步审题与观察图形,发现虽然 题设中给出的条件较多,也极具条理性,不过他们一 时间难以想到用何种方法来证明这两条线段相等,以 至于陷入到困境当中.教师可提示学生应用面积法进 行证 明.具 体 证 明 方 法 如 下:因 为 BD =CD,所 以 △ABD 的面积同△ACD 的面积相等,得出  ·AB· DE= AC·DE,又因为AB=AC,所以 DE=DF.

虽然本题可以使用全等三角形的相关知识进行 证明,不过采用面积法思路更为简洁,既可以培养学 生一题多解的意识,还能够让他们感受到面积法的优 势,扩充认知范围.

四、利用面积的可加性解题

平面几何证明题的最大难处是辅助线的添加, 而面积法的特点是把已知和未知量用面积公式及有 关的性质定理联系起来,从而把几何关系转变为数 量关系,通过数量运算来得到求证结果. 例3   如图8 所示,在 △ABC 中,AB=AC,点 D 为BC 上任一点,DE ⊥ AB,DF ⊥ AC,CG ⊥ AB,垂足分别为E、F、G,求证DE +DF =CG. 解析 在本例题中假如使用三角形全等进行 证明就会影响学生答题的效率。但是从面积方面进行考虑,只要将AD 进行连接,使得 △ABC 分为两 个三角形 △ABD 和 △ACD,这两个三角形的面积 表达式都容易求得。

图8

证明   因为S_△ABC =S_△ABD +S_△ACD ,DE ⊥ AB,DF ⊥AC,CG ⊥ AB.

所以 AB·CG =  AB·DE + AC·DE,

因为AB =AC,

所以CG =DE +DF.

五、 “沙漏”模型

当问题给出的图形形似“沙漏”时,如图9所示, 就能应用“沙漏”模型快速找到相似的三角形。符合 沙漏模型的定义,还需要满足BC ∥DE 这一基本条 件,即可找到对应相似三角形 △ACB 和 △ADE,并 根据相似三角形求解问题。

图9

例4 如图10,在平行四边形 ABCD 中,AB = 16,AD =10,BE =4,求FC 的长度.

图10

解析 因为四边形ABCD 是平行四边形,

所以AB ∥CD,

所以 ∠E =∠CDF,∠CBE =∠FCD.

所以 △FBE ∽ △FCD.

所以 BF CF = BE CD =  .

因为BC =AD =10,

六、结语

在初中数学教学课程中，三角的内容是至关重要的。它是联系代数知识和几何知识的一座桥梁，它是沟通初等数学和高等数学的通道，许多重要的数学知识都需要用三角知识去解决，三角形正弦面积公式、正弦定理就是“通性通法”，既是“解题利器”，亦是“一线串通”的平台。新实验是“归一、用一”的工夫，抓住面积公式就抓住了解题的关键。通过张景中院士的面积法在初中数学课的实验研究，理解教育数学的本质内涵，教育数学变陌生为熟悉、变复杂为简单、变抽象为直观、变不讲道理为讲道理，让数学课堂能究其源，将逻辑推理、代数推理和几何推理融合在一起。

参考文献：

[1]张景中.从数学教育到教育数学[M].中国少年儿童出版社,2011,7.

 [2]张景中.面积关系帮你解题[M].上海教育出版社,1982,12.

 [3]陈细玉.CGMO平面几何问题的解题策略与形变探究[D].福建师范大学,2019.

 [4]唐佳丽. 教育数学背景下微课程重构与实践[D].华中师范大学,2018.