二次函数是体现“数形结合思想”的重要知识点，天津市中考数学中，二次函数经常出现在选择题最后一题以及作为解答题的压轴题，对于不同的题型，解题方法与思路也有所不同。本文针对不同题型，对其解法与思路作出系统性总结，帮助学生快速掌握解题技巧，提高学生的答题正确率。

一、选择题分析

I.问题种类：1、很多学生没有系统的思路，做题时直接跳过；2、容易错选；3、容易漏选；4、没有条理性，每判断一个条件，都要将已知条件重新归纳；5、反复性，浪费考试时间。

II.答题思路：通过函数图象，可以使学生更加直观的感受二次函数的性质，常考题目主要包括三种类型，没有图象、表格形式以及图象不完整。因此，在读题之后，首先应根据已知条件或者表格画出函数图象，若图象不完整，则应将图象补全；

此外，本题需要学生判断的条件相对较多，为了错选和漏选情况的发生，并结合常考类型，建议学生按照、交点坐标、判别式、最大值、最小值以及平方差……的顺序将已知条件归纳整理，从而有序进行挑选。即：

1、根据开口方向判断的大小；

    2、根据“左同右异”判断与0的关系，若对称轴的位置确定，则可找出与的具体关系；

    3、根据图象与y轴的交点判断c的大小；

图象与轴交点在轴

    4、将图象与轴的交点坐标带入函数解析式，求得的关系；

    5、利用判别式 与交点个数；

    6、利用最值；

7、利用平方差公式。

III.常考类型分析

例1：如图所示，已知二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有（　　）

按照上述解题方法，例题的解题方法可按照如下步骤：

分析：⑴ 图象开口方向向下；

⑵                    ， 故①正确

⑶  图象与轴交点在轴上方知；

⑷   

将点坐标代入解析式，可得：

故③错误

⑸ 根据对称轴以及可得图象与轴的另一个交点坐标为，故④正确。

(6) 由(2)知，

，故②错误

因此，例题答案为C选项。

例2：已知二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④.其中正确的结论有（　　）

分析：⑴ 图象开口方向向上；

⑵            故①正确

⑶  图象与轴交点在轴上方知；

⑷ ，根据已知条件不能确定函数在时的函数值，因此②错误；

(5),根据图象知，函数在时的函数值大于0，因此③正确；

(6)

平方差公式

   由图可知：④正确。

例3：如图是抛物线的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是，与轴的一个交点是，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤，其中正确结论的个数是（　　）

分析：⑴ 图象开口方向向下；

⑵ 且 故②正确   故①错误

⑶ 图象与轴交点在轴上方知；   

⑷ 图象与轴的交点坐标为，故；

(5)由图象与轴的交点坐标为以及对称轴可知图象与轴的另一个交点坐标为，故④错误；

(6)由图象知，令，，则与的图象有一个交点，故③正确

(7)

  当时， ，故⑤正确

二、解答题分析

在中考数学中，二次函数解答题一般由三个问题组成，第一小题，大部分学生能够解答，考点通常为求顶点坐标或者待定系数法求函数解析式，因此，在日常教学中，教师应让学生熟记顶点坐标公式，并要熟练掌握待定系数法，并提高计算能力。第二问主要考察勾股定理的运用，同学们不难解答。

第三问对于很多同学来说是难度较大的，有的学生没有答题思路而直接放弃，教师在教学过程中，首先，要让学生克服畏难心理，可以带领学生们回顾将军饮马模型，树立学生的自信心；接着由小故事引入胡不归模型，引起学生们的兴趣。

I.将军饮马模型

从A地出发到河边饮马，然后再到B地，求怎样走使路线最短，并且求如何确定饮马的地点C。

II.胡不归模型

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置B到家A之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭，邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

此时，我们都会有一个疑问，少年能否提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？不妨假设先从位置B行至位置P，再从位置P返回位置A。BP上的速度为，砂石地上的速度为，且。

如图2所示，用数学语言描述，问题转化为：

条件：A、B为定点，点B在直线MN上，点P是直线MN上的动点。

求解问题：确定点P的位置，使得的值最小。

简证：

核心内容是构造与相等的线段，将的最小值问题转化为的最小值问题。

III.简单应用

⑴当时，

在直角三角形ABC中，，，，P是AB边上一动点，则的最小值为　   　．

分析：如图4，

在外作

过点C作于点D，交AB于点，

∴

当时，

在中，，

∴

∴的最小值为．

⑵当时，

在直角三角形ABC中，，，P为AC上一动点，，则的最小值为　   　．

分析：观察发现，系数有两个，且不是介于0和1之间，因此，先考虑提出系数2，则,2是常数，，此时问题转化为求，即情况(1)。

如图6所示，，故作，交AC于点，则，.

，，，.

IV.策略归纳

“胡不归”模型中涉及到两个定点，一个动点，且动点在直线上运动。

第一步：找系数，根据的大小选择方法I或II；

第二步：找动点，所求式子共有的字母即为动点；

第三步：找定点，所求式子除去动点即为定点，并将两个定点连接起来；

第四步：将带有系数的两个字母所连直线看作界限，如；

第五步：在界限的相反方向做，使得;

第六步：由定点向所作射线作垂线，即为所求;

第七步：计算。

V.真题分析

已知抛物线为常数，）经过点A（-1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的点.

（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；

（2）点D（b，）在抛物线上，当AM=AD，m=5时，求b的值；

（3）点Q（，）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值.

解析：首先根据题目已知条件求出隐藏的内容

①对称轴

②抛物线经过点

,即

③点是轴正半轴上的点

（1）利用待定系数法，先求出函数解析式，再求顶点坐标。

当时，,

故顶点坐标为(1,-4).

（2）考查勾股定理，在中，根据勾股定理求出的长度。

                               
    点在抛物线上 

点在第四象限且在对称轴的右侧

如图7，过点作⊥轴，

，，

，

  解得：

（3）考查胡不归模型

根据胡不归解题思路，适用于II.

，

①动点为点,定点为点和点，线段为界限。

②在与线段相反的方向构造正弦值为的，使得，即：.

③过点向射线作垂线，垂足为,与轴交点即为点的位置，而的长度即为的最小值.

④通过用来表示的长度，求得的值。

在抛物线上

∴点在第四象限，且在直线的右侧

和均为等腰直角三角形，

，，

  解得：

三、结语

二次函数不仅是初中数学的重要知识，也是中考的必考题型。此外，也能体现数形结合的思想。而高中数学的学习更多地需要学生掌握数学思想方法，因此，教师在教学过程中，可以向学生渗透“数形结合思想”，为高中打下基础。考虑二次函数在中考中的地位，教师应归纳解题方法，对于选择题，可以引导学生按照上述方法将每条信息梳理到题目的旁边，并结合题目挑选合适的条件以提高准确率。等到熟练掌握后，则可以将信息简洁化。针对解答题，将胡不归思想与二次函数解答题相结合，由浅入深，层层深入，先帮助学生克服畏难心理，再勤加练习，从而熟练掌握该题的解题技巧。

参考文献

[1]义务教育教科书[M].人民教育出版社，2013:28-46.

[2]二次函数与胡不归最值问题,学科网,2022.09.08,https://www.zxxk.com/soft/34885876.html.