在初中二次函数的学习中，求解线段之和的最值问题是一种常见的题目类型，按照难易程度不同，可大体分为“将军饮马问题”、“胡不归模型”和“阿氏圆问题”。难度较大，综合性、灵活性较强，学生们做起来比较困难，通常直接放弃。但是，通过总结归纳，我们可以发现其中的规律。学生们在之前的学习中接触过最值问题，即“将军饮马问题”，教师可以由此入手，层层深入，浅入深出，帮助学生掌握最值问题的解题思路和解题技巧。

I.将军饮马模型

从地出发到河边饮马，然后再到地，求怎样走使路线最短，并且求如何确定饮马的地点。

核心思路：通过作对称点，把线段求和最值问题转换为点到点之间的距离最小问题。

II.胡不归模型

已知、为定点，点在直线上，点是直线上的动点。确定点的位置，使得的值最小。

一、方法分析：

构造射线,使得，过点作，交于点，交于点.

则，，故.

此时点为所求点，即为最小值。

二、策略归纳

“胡不归”模型中涉及到两个定点，一个动点，且动点在直线上运动。

第一步：找系数，根据的大小选择方法I或II；

第二步：找动点，所求式子共有的字母即为动点；

第三步：找定点，所求式子除去动点即为定点，并将两个定点连接起来；

第四步：将带有系数的两个字母所连直线看作界限，如；

第五步：在界限的相反方向做，使得;

第六步：由定点向所作射线作垂线，即为所求;

第七步：计算。

三、系数分类

⑴当时，

在直角三角形ABC中，，，，P是AB边上一动点，则的最小值为　   　．

分析：如图4，

思路解析：如图4，作，过点C作于点D.

⑵当时，

在直角三角形ABC中，，，P为AC上一动点，，则的最小值为　   　．

分析：观察发现，系数有两个，且不是介于0和1之间，因此，先考虑提出系数2，则,2是常数，，此时问题转化为求，即情况(1)。

核心思路：通过构造角，使得，把动点的轨迹为直线的线段求和最值问题转换为点到线之间的距离最小问题。

四、真题应用

已知抛物线为常数，）经过点，点是轴正半轴上的点.

（1）当时，求抛物线的顶点坐标；

（2）点在抛物线上，当，时，求的值；

（3）点在抛物线上，当的最小值为时，求的值.

解析：第三问中，根据胡不归解题思路，适用于的情况，，根据胡不归模型的解题步骤计算即可。

III.阿氏圆问题

一、模型简介

在平面上给定两点，，设点在同一个平面上，且满足，当，且时，点的轨迹是一个圆，称之为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。

设点坐标为，点坐标为，点坐标为.

，，由，知：

，整理得：.

故点的轨迹是一个圆心为，半径为的圆。

故，

根据相似三角形的判定，可知：与相似。

二、模型应用

⑴向内构造相似三角形

例：在中，，,，圆的半径为2.点为圆上一动点，连接、，

①求的最小值。

分析：题目中点的轨迹为圆，可想到阿氏圆；，半径为2以及系数为，可猜测在中构造一个相似三角形。在线段上构造一个点，使得,如图8所示，，与相似，故，即,，因此，当点位于的连线上时，.

②求的最小值。

分析：同样的思路，题目中点的轨迹为圆，中的系数为，题目中发现，半径为2，由此可想到在中构造相似的三角形，在线段上找一点，使得，则，故，因此，与相似，可知：，即,问题中所求

，当点位于线段与圆的交点处时，取得最小值，且。

⑵向外构造相似三角形

例：在扇形中，,，点为中点，点为弧上一动点（不与、重合），求的最小值。

分析：点的运动轨迹为圆的一部分，求最值问题，考虑阿氏圆求最值方法。中的系数为2，大于1；寻找题干中含有2倍关系的线段，点为中点，，则,,,,延长至点，使得，连接,则,故与相似，,因此，，，延长，作于点，，，，，，。

三、策略归纳

首先，判断动点轨迹是否是圆；其次，构造相似三角形。

求的解题步骤：

第一步：将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心连接起来，即连接与；

第二步：分别计算与的长度，并计算的值；

第三步：在或的延长线上取点，使得，即构造相似于，将问题转化为。

第四步：连接，计算的长度，即为所求。

四、拓展应用

例1：已知正方形的边长为6，圆的半径为3，点是圆上的一个动点，求的最大值．

解析：要求的最大值，需要将进行转化，连接，构造三角形，，，由此可知，；那么，需要构造一个三角形，使得三角形相似于三角形，在上找一点，使得，则,因此，三角形相似于三角形，，，，根据三角形两边之差小于第三边，可知，,因此，当、、三点共线时，取得最大值，，利用勾股定理，求得。

例2：如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，点是圆上一动点，求的最小值。

解析：由于系数，点的轨迹是圆，首先考虑向外构造相似三角形的情况。

①如图13所示，按照解题步骤，延长线段至点，构造三角形，此时，发现由于点位于圆的外部，因此，并不能使得三角形与三角形相似。

②如图14所示，延长线段至点，使得，根据题意，知：，，故，,相似于，，则,，而并不能转化为已知线段长度，因此，这种方法也存在一定的困难。

综上所述，两种方法都行不通，需要将问题进行转化，寻求新的解题方法，类比胡不归模型的学习，考虑到将前面的系数提取出来，，进而问题转化为求。

③如图15所示，取的中点，，，，，，故相似于，，即，因此，，当点，点，点三点共线时，取得最小值，。

作于点，连接，由于点为线段的中点，则，,,。

核心思路：通过构造相似三角形，根据两点之间线段最短，把动点轨迹为圆的线段求和最值问题转换为点到点之间的距离最小问题，注意在解题过程中根据不同类型，选择不同的解题方法。

IV、结语

二次函数不仅是初中数学的重要知识，也是中考的必考题型。此类题型主要考查转化与化归的数学思想，此外，也能体现数形结合的思想。根据新课程标准的要求，合理安排不同学段内容，体现学习目标的连续性与进阶性，因此，教师在教学过程中，应遵循螺旋上升原则，要体现核心素养发展的阶段性，可以向学生渗透数学思想方法，使学生体会和运用数学的思想与方法，为高中打下基础。

义务教育数学课程应使学生通过数学的学习，形成和发展面向未来社会和个人发展所需要的核心素养。核心素养是在数学学习过程中逐渐形成和发展的，不同学段发展水平不同。新课标要求教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题；促进学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，获得数学的基本活动经验；在教学过程中，要循序渐进，遵循学生的认知规律和心理特征，由易到难。首先，由将军饮马模型引入，建立起学生的自信心；其次，由胡不归模型的小故事引入，激发学生的学习兴趣和学习的趣味性，并引导学生思考此类模型下的最小值问题如何求解，给予学生充分的思考空间，促进学生主动学习，在这一过程中，通过经历最值的探索过程，树立学生的模型观念以及空间观念，掌握基本的几何证明方法，提高学生的推理能力，培养学生发现问题和解决问题的能力；最后，再层层深入，引出阿氏圆问题，即当动点的轨迹为圆时的最小值问题，培养学生观察数据和分析数据的能力，使学生掌握转化与化归思想。

教师在教学过程中，要引导学生总结三种模型的特点、解题步骤以及核心思路。培养学生良好的学习习惯，形成积极的情感、态度和价值观，逐步形成核心素养。

参考文献

[1]义务教育教科书[M].人民教育出版社，2013:28-46.

[2]二次函数与胡不归最值问题,学科网,2022.09.08,https://www.zxxk.com/soft/34885876.html.

[3]圆中的最值模型之阿氏圆模型，学科网，2023.12.07,https://www.zxxk.com/soft/42178002.html.

[4]义务教育数学课程标准，2022年版，http://www.moe.gov.cn/srcsite/A26/s8001/202204/W020220510531636118932.pdf.